12th BCS — প্রশ্নব্যাংক ও এক্সাম সেন্টার
এখানে 12th BCS-এর সকল বিষয়ের প্রশ্ন গুছিয়ে দেওয়া হয়েছে। আপনি চাইলে বিষয় ধরে পড়তে পারবেন অথবা যেকোনো কয়েকটি বিষয় বেছে নিয়ে তাৎক্ষণিক পরীক্ষা দিতে পারবেন।
বিষয় নির্বাচন করুন (Filter by Subject):
6টি বিষয়বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান দৈর্ঘ্যর জ্যাগুলো সর্বদা সমদূরবর্তী থাকে এবং কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। জ্যামিতির এই মৌলিক উপপাদ্যের সাহায্যে সমান জ্যা দুটি পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের অংশগুলো সমান হয়, অর্থাৎ PB = PD প্রমাণিত হয়। বিসিএসের জ্যামিতি অংশে বৃত্ত সম্পর্কিত এই প্রোপার্টিগুলো বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে আয়ত্ত করতে হবে।
কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ বা রাশি \(ax^2 + bx + c\) পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক বা ডিস্ক্রিমিন্যান্ট \(b^2 - 4ac\)-এর মান শূন্য হওয়া। এখানে \((-P)^2 - 4(4)(9) = 0\) সমীকরণ সমাধান করলে \(P^2 = 144\) পাওয়া যায়, যার ধনাত্মক বর্গমূল হলো ১২। বীজগণিতের এই শর্টকাট সূত্রটি মনে রাখলে খুব দ্রুত পরীক্ষায় সঠিক উত্তর বের করা সম্ভব।
এখানে \(\sqrt{2}\)-এর আনুমানিক মান প্রায় ১.৪১ এবং \(\sqrt{3}\)-এর মান প্রায় ১.৭৩, যার ঠিক মাঝখানে ১.৫ সংখ্যাটি অবস্থিত এবং এটি একটি মূলদ সংখ্যা কারণ একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। বিসিএসের বাস্তব সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানের জন্য বর্গমূলের আনুমানিক মানগুলো জেনে রাখা অত্যন্ত দরকার।
প্রদত্ত রাশিটিকে সাজিয়ে পূর্ণবর্গ রূপ দেওয়ার চেষ্টা করলে দেখা যায় \((x+y-4)^2 - 2xy\) ফরম্যাট আসে, যেখানে একে নিখুঁত পূর্ণবর্গ বানাতে অতিরিক্ত \(2xy\) যোগ করতে হবে। বীজগণিতীয় রাশির উৎপাদক ও পূর্ণবর্গ রূপান্তরের ক্ষেত্রে অভেদ এবং বর্গমূলের সূত্রগুলো নিখুঁতভাবে প্রয়োগ করতে হয়।
দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদক বিশ্লেષণের নিয়ম অনুযায়ী মধ্যপদ বা মিডল টার্ম ভেঙে \(-x\)-কে \(-6x + 5x\)-এ রূপান্তর করতে হবে। এরপর কমন নিলে সহজে \((2x+5)(x-3)\) উৎপাদক দুটি পাওয়া যায়। বিসিএস গণিত পরীক্ষায় মিডল টার্ম ব্রেকিংয়ের দক্ষতা সময় বাঁচাতে বড় ভূমিকা রাখে।
যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান কিন্তু বিপরীত কোণগুলো সমান এবং কোনো কোণই সমকোণ নয়, তাকে জ্যামিতিতে রম্বস বলা হয়। সামান্তরিক ও রম্বসের মৌলিক পার্থক্যগুলোর ওপর ভিত্তি করে প্রায়ই বিসিএসে এ ধরনের কনসেপচুয়াল প্রশ্ন করা হয়।
বীজগণিতের \(a^4 + 4\) রাশিটিকে প্রথমে পূর্ণবর্গ বানানোর জন্য \((a^2 + 2)^2 - (2a)^2\) ফর্মে সাজাতে হবে, যা পরে দুটি রাশির বর্গের অন্তরূপ সূত্র \((x^2 - y^2)\) প্রয়োগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। এই বিশেষ উৎপাদকটি বিসিএস পরীক্ষার লিখিত ও প্রিলিমিনারি উভয় ধাপের জন্যই সমানভাবে গুরুত্বপূর্ণ।
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সুনির্দিষ্ট সূত্র হলো \(\mathrm{\frac{\sqrt{৩}}{৪}a^২}\), যেখানে \(a\) হলো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য। এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার দেওয়া থাকায় সূত্রে মান বসিয়ে পাই, \(\mathrm{\frac{\sqrt{৩}}{৪} \times (১৬)^২ = ৬৪\sqrt{৩}}\) বর্গমিটার। বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় জ্যামিতির এই সূত্রভিত্তিক গণিতগুলো দ্রুত সমাধানের জন্য নিয়মিত অনুশীলনের বিকল্প নেই।
মূল্য বৃদ্ধির ক্ষেত্রে খরচের পরিমাণ অপরিবর্তিত রাখতে শর্টকাট শতকরা হ্রাসের সূত্রটি ব্যবহার করতে হয়: \(\mathrm{\frac{বৃদ্ধি \, বা \, রাস}{১০০ + বৃদ্ধি \, বা \, রাস} \times ১০০\%\)। এখানে চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় খরচ না বাড়িয়ে ব্যবহারের পরিমাণ কমাতে হবে \(\mathrm{\frac{২৫}{১২৫} \times ১০০\% = ২০\%}\)। এই ধরনের দাম ও খরচের বিপরীতমুখী অনুপাতের অংকগুলো বিসিএস পরীক্ষায় প্রায়ই দেখা যায়।
ধরে নিই মোট প্রশ্নসংখ্যা \(x\), যেখানে প্রথম ২০টি বাদে বাকি প্রশ্ন থাকে \((x - ২০)\) টি। শর্তানুসারে, প্রথম ২০টির মধ্যে ১৫টি এবং বাকি প্রশ্নগুলোর \(\frac{১}{৩}\) অংশ অর্থাৎ \(\frac{x - ২০}{৩}\) টি প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে সে মোট ৭৫% নম্বর বা \(০.৭৫x\) নম্বর পেয়েছে। সমীকরণটি সমাধান করলেই \(x\)-এর মান ২০ পাওয়া যায়। মানসিক দক্ষতা ও বুদ্ধিমত্তা যাচাইয়ের জন্য এ ধরণের জটিল worded সমস্যাগুলো বিসিএস-এ বেশ জনপ্রিয়।
নৌকার অনুকূলে গতিবেগ হবে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের যোগফল অর্থাৎ \(১০ + ৫ = ১৫\) কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে গতিবেগ হবে বিয়োগফল অর্থাৎ \(১০ - ৫ = ৫\) কিমি/ঘণ্টা। ৪৫ কিমি পথ একবার যেতে সময় লাগে \(\frac{৪৫}{১৫} = ৩\) ঘণ্টা এবং ফিরে আসতে সময় লাগে \(\frac{৪৫}{৫} = ৯\) ঘণ্টা, ফলে মোট যাতায়াতে সময় লাগবে \(৩ + ৯ = ১২\) ঘণ্টা। নদী ও স্রোতের গতি সংক্রান্ত এই টাইপের গাণিতিক সমস্যা বিসিএস প্রিলির জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
সিরিজটির সংখ্যাগুলোর মধ্যকার পার্থক্য লক্ষ্য করলে দেখা যায়: \(১১ - ৮ = ৩\), \(১৭ - ১১ = ৬\), \(২৯ - ১৭ = ১২\), এবং \(৫৩ - ২৯ = ২৪\)। প্রতি ধাপে পার্থক্যগুলো দ্বিগুণ অর্থাৎ \(৩, ৬, ১২, ২৪\) হচ্ছে, যার ফলে পরবর্তী পার্থক্য হবে \(৪৮\)। সুতরাং, সর্বশেষ সংখ্যা ৫৩-এর সাথে ৪৮ যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যাটি দাঁড়ায় \(৫৩ + ৪৮ = ১০১\)। নম্বর তোলার ক্ষেত্রে ধারা বা সিরিজের প্যাটার্ন দ্রুত ধরতে পারা বিসিএস পরীক্ষার্থীদের জন্য একটি জরুরি দক্ষতা।
আমরা জানি যে ১ কিলোগ্রাম সমান ১০,০০,০০০ মিলিগ্রাম। মিলিগ্রাম থেকে কিলোগ্রামে রূপান্তর করতে হলে মানটিকে ১০,০০,০০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়। সে অনুযায়ী ২০৫৭৩.৪ মিলিগ্রামকে ১০,০০,০০০ দ্বারা ভাগ করলে দশমিক বিন্দু ছয় ঘর বামে সরে গিয়ে ০.০২০৫৭৩৪ কিলোগ্রামে পরিণত হয়। পরিমাপের একক রূপান্তরের এই সাধারণ নিয়মগুলো বিসিএস গাণিতিক যুক্তির জন্য অত্যন্ত দরকারী।
ছাত্রদের সংখ্যাটি ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে, যার লসাগু হলো ১২০। তবে তাদের বর্গাকারে সাজানোর জন্য লসাগুর মৌলিক উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হয়; এখানে ১২০-এর উৎপাদকগুলোকে পূর্ণবর্গ করতে অতিরিক্ত \(২ \times ৫ \times ৩ = ৩০\) দ্বারা গুণ করতে হয়। সুতরাং নির্ণেয় ছাত্রসংখ্যা হবে \(১২০ \times ৩০ = ৩৬০০\) জন। লসাগু ও গসাগুর সাথে বর্গসংখ্যার ধারণার চমৎকার সমন্বয় ঘটেছে এই প্রশ্নে।
মিশ্র অনুপাত বের করার নিয়ম হলো প্রদত্ত অনুপাতগুলোর পূর্বরাশিগুলোর গুণফলকে উত্তররাশিগুলোর গুণফলের সাথে অনুপাতে প্রকাশ করা। প্রদত্ত অনুপাতগুলো হলো \(৫:১৮\), \(৭:২\) এবং \(৩:৬\) (যা লঘিষ্ঠ করলে \(১:২\) হয়)। এদের পূর্বরাশিগুলোর গুণফল \((৫ \times ৭ \times ১ = ৩৫)\) এবং উত্তররাশিগুলোর গুণফল \((১৮ \times ২ \times ২ = ৭২)\) নিয়ে মিশ্র অনুপাতটি পাওয়া যায় \(৩৫ : ৭২\)। অনুপাত-সমানুপাতের বিসিএস প্রশ্নগুলোর ক্ষেত্রে লঘিষ্ঠ রূপের ব্যবহার হিসাব সহজ করে দেয়।
যেকোনো সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রে বহিঃকোণ ও অন্তঃকোণের সমষ্টি সর্বদা \(১৮০^\circ\) হয়। প্রদত্ত অন্তঃকোণ \(১৩৫^\circ\) হলে এর বহিঃকোণ হবে \(১৮০^\circ - ১৩৫^\circ = ৪৫^\circ\)। আমরা জানি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো \(\frac{৩৬০^\circ}{\text{বহিঃকোণ}}\) অর্থাৎ \(\frac{৩৬০^\circ}{৪৫^\circ} = ৮\) টি। জ্যামিতির এই বহুল ব্যবহৃত সূত্রটি বিসিএস পরীক্ষায় প্রায়ই মুখোমুখি হতে হয়।
🎯 বিষয় বেছে পরীক্ষা দিন
পছন্দমতো ২/৩টি বিষয় সিলেক্ট করে কাস্টম টেস্ট শুরু করুন