35th BCS

সঠিক উত্তর হলো '1.50'। ২০% কমে, ১০০ টাকার কলার বর্তমান মূল্য = (১০০ \(\mathrm{-}\) ২০) = ৮০ টাকা \(\mathrm{∴}\) ১ ” ” ” ” \(\mathrm{\frac{৮০}{১০০}}\) ” \(\mathrm{∴}\) ১২ ” ” ” ” \(\mathrm{\frac{৮০ \times ১২}{১০০}}\) = \(\mathrm{\frac{৪৮}{৫}}\) টাকা তাহলে, ২টি কলার বর্তমান মূল্য = \(\mathrm{\left(১২ - \frac{৪৮}{৫}\right)}\) = \(\mathrm{\frac{১২}{৫}}\) টাকা \(\mathrm{∴}\) ১টি ” ” ” = \(\mathrm{\frac{১২}{৫ \times ২}}\) = \(\mathrm{\frac{৬}{৫}}\) = ১.২ টাকা

সঠিক উত্তর হলো '60'। ব্যাখ্যা: এখানে, আম ও কমলার অনুপাত 2 : 1 তাহলে, 60 লিটার ফলের রসে আম \(\mathrm{=\left(60 \times \frac{2}{1 + 2}\right)=}\) 40 এবং কমলা \(\mathrm{\left(60 \times \frac{1}{1 + 2}\right)=}\) 20 লিটার ধরি, x লি. কমলার রস মিশালে অনুপাত 1 : 2 হবে। \(\mathrm{∴\frac{40}{20+x}=\frac{1}{2}}\) \(\mathrm{⇒x+20=80}\) \(\mathrm{∴x=60}\)

সঠিক উত্তর হলো '308'। একটি সংখ্যা \(\mathrm{\times}\) অপর সংখ্যা \(\mathrm{=}\) ল.সা.গু. \(\mathrm{\times}\) গ.সা.গু. অপর সংখ্যা \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{\frac{ল.সা.গু. \times গ.সা.গু.}{একটি সংখ্যা}}\) \(\mathrm{=\frac{7700 \times 11}{275}}\) \(\mathrm{=308}\)

সঠিক উত্তর হলো '6'। আমরা জানি, \(\mathrm{{\left(x+y\right)}^{2}={\left(x-y\right)}^{2}+4xy}\) \(\mathrm{={\left(2\right)}^{2}+4 . 24}\) \(\mathrm{=4+96}\) \(\mathrm{=100}\) \(\mathrm{∴x+y= \pm 10}\) ধনাত্মক মান নিয়ে, \(\mathrm{x+y=10………}\) (i) \(\mathrm{x-y=2………}\) (ii) \(\mathrm{\left(i + ii\right)}\) করে পাই, \(\mathrm{⇒}\) \(\mathrm{2x=12}\) \(\mathrm{∴x=6}\)

সঠিক উত্তর হলো '3'। \(\mathrm{\frac{3}{x}+\frac{4}{x+1}=2}\) বা, \(\mathrm{\frac{3x+3+4x}{x(x+1)}=2}\) বা, \(\mathrm{7x+3=2({x}^{2}+x)}\) বা, \(\mathrm{2{x}^{2}-7x+2x-3=0}\) বা, \(\mathrm{2{x}^{2}-5x-3=0}\) বা, \(\mathrm{2{x}^{2}-6x+x-3=0}\) বা, \(\mathrm{2x\left(x-3\right)+1\left(x-3\right)=0}\) বা, \(\mathrm{\left(x-3\right)\left(2x+1\right)=0}\) হয়, \(\mathrm{x-3=0}\) অথবা, \(\mathrm{2x+1=0}\) \(\mathrm{∴x=3}\) \(\mathrm{∴x=-\frac{1}{2}}\) [ \(\mathrm{x=-\frac{1}{2}}\) গ্রহণযোগ্য নয়] \(\mathrm{∴x=3}\)

পরমমানের অসমতা অনুযায়ী \(|x - a| < b \iff -b < x - a < b\)। এখানে \(|x - 3| < 5 \Rightarrow -5 < x - 3 < 5\)। উভয়পক্ষে ৩ যোগ করলে পাই: \(-5 + 3 < x < 5 + 3 \Rightarrow -2 < x < 8\)।

সঠিক উত্তর হলো '100'। দেয়া আছে, \(\mathrm{{x}^{-3}-0.001=0}\) বা, \(\mathrm{\frac{1}{{x}^{3}}=0.001}\) বা, \(\mathrm{\frac{1}{{x}^{3}}=\frac{1}{1000}}\) বা, \(\mathrm{{x}^{3}=1000={10}^{3}}\) বা, \(\mathrm{x=10}\) \(\mathrm{∴{x}^{2}=100}\)

সঠিক উত্তর হলো '-2'। \(\mathrm{{log}_{3}\left(\frac{1}{9}\right)}\) \(\mathrm{=Lo{g}_{3}\left(\frac{1}{{3}^{2}}\right)}\) \(\mathrm{=lo{g}_{3}\left({3}^{-2}\right)}\) \(\mathrm{=-2.lo{g}_{3}3}\) \(\mathrm{=-2}\) \(\mathrm{[∵lo{g}_{a}a=1]}\)

সঠিক উত্তর হলো '\({-{1\over 4}}\)'। আমরা জানি, কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ \(\mathrm{a,}\) সাধারণ অনুপাত \(\mathrm{r}\) হলে \(\mathrm{n}\) তম পদ \(\mathrm{=a{r}^{n-1}}\) \(\mathrm{∴}\) দ্বিতীয় পদ \(\mathrm{=a{r}^{2-1}=ar=-48}\) \(\mathrm{∴a=-\frac{48}{r}…………\left(i\right)}\) আবার, পঞ্চম পদ \(\mathrm{=a{r}^{5-1}}\) \(\mathrm{=a{r}^{4}}\) \(\mathrm{=\left(-\frac{48}{r}\right){r}^{4}}\) [(i) এর মান বসিয়ে] \(\mathrm{=-48{r}^{3}}\) প্রশ্নমতে, \(\mathrm{-48{r}^{3}=\frac{3}{4}}\) বা, \(\mathrm{{r}^{3}=-\frac{3}{192}}\) বা, \(\mathrm{{r}^{3}=-\frac{1}{64}}\) বা, \(\mathrm{{r}^{3}={\left(-\frac{1}{4}\right)}^{3}}\) \(\mathrm{∴r=-\frac{1}{4}}\) অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত \(\mathrm{-\frac{1}{4}}\)

সঠিক উত্তর হলো '4'। \(\mathrm{{log}_{a}\left(\frac{{x}^{3}{y}^{2}}{z}\right)}\) \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{lo{g}_{a}\left({x}^{3}{y}^{2}\right)-lo{g}_{a}z}\) \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{lo{g}_{a}{x}^{3}+lo{g}_{a}{y}^{2}-lo{g}_{a}z}\) \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{3lo{g}_{a}x+2lo{g}_{a}y-lo{g}_{a}z}\) \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{3 \times 1+2 \times 2-3}\) [মান বসিয়ে] \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{3+4-3}\) \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{4}\)

এখানে বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi r^2 = \pi(2)^2 = 4\pi\) থেকে অন্তস্থ বর্গের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2} \times \text{কর্ণ}^2 = 8\) বিয়োগ করলেই কাঙ্ক্ষিত আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল \(4\pi - 8\) পাওয়া যায়। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে জ্যামিতির এ ধরনের শর্টকাট সমস্যা প্রায়ই আসে, তাই বৃত্ত ও অন্তস্থ বর্গক্ষেত্রের সূত্রগুলো ভালোভাবে আয়ত্ত রাখুন।

যেহেতু একজন অধিনায়ক নির্দিষ্ট, তাই বাকি ১৩ জন খেলোয়াড় থেকে আর মাত্র ১০ জনকে বাছাই করতে হবে, যা সমাবেশের সূত্র \(^{13}C_{10} = 286\) এর মাধ্যমে খুব সহজেই বের করা যায়। বিসিএস গণিত অংশে কম্বিনেশন বা বিন্যাস-সমাবেশের এই ধরনের ট্রিকি অংকগুলো কয়েক সেকেন্ডে সমাধানের জন্য সূত্রগুলো নিয়মিত চর্চা করুন।

সব শিক্ষার্থীর মোট নম্বর (\(100 \times 70 = 7000\)) থেকে ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর (\(60 \times 75 = 4500\)) বাদ দিলে বাকি থাকে ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর ২৫০০, যাকে ৪০ দিয়ে ভাগ করলেই ছাত্রদের গড় \(62.5\) পাওয়া যায়। গড় নির্ণয়ের এই ধরনের মিশ্র সমস্যাগুলো বিসিএস মানসিকভাবে দ্রুত সমাধানের জন্য বেশ জনপ্রিয়।

সেটের সূত্রের সাহায্যে \(n(E \cup B) = n(E) + n(B) - n(E \cap B)\) ব্যবহার করে মানগুলো বসালেই বাংলায় কথা বলা মানুষের সংখ্যা \(50 = 35 + n(B) - 25\) বা \(40\) জন পাওয়া যায়। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে ভেনচিত্র ও সেট সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা নিয়মিত আসে, তাই সূত্রগুলো মাথায় রাখুন।

CALCUTTA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা \(\frac{8!}{2!2!2!} = 5040\) এবং AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা \(\frac{7!}{2!} = 2520\), ফলে অনুপাতটি হয় \(5040 \div 2520 = 2\) গুণ। পুনরাবৃত্তিমূলক বিন্যাসের ক্ষেত্রে একই অক্ষর যতবার থাকে তত ১ এর ফ্যাক্টরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হয়—এই নিয়মটি বিসিএস পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।