30th BCS

প্রথমে ১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে, যা হলো ৭২। যেহেতু ২ যোগ করার পর যোগফলটি বিভাজ্য হবে, তাই ল.সা.গু. থেকে ২ বিয়োগ করলে কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি (৭২ - ২ = ৭০) পাওয়া যায়। বিসিএস পরীক্ষায় এই ধরনের অংকে 'যোগ করলে' বললে ল.সা.গু. থেকে বিয়োগ এবং 'বিয়োগ করলে' বললে যোগ করতে হয়— বিষয়টি মাথায় রাখুন!

যে সংখ্যা ১ এবং কেবল ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অপশনগুলোর মধ্যে ৫৯ একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ এর অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই। বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার জন্য ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর তালিকা মুখস্ত রাখা অত্যন্ত জরুরি।

সবগুলো সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তর করলে পাই: ১/৩ = ০.৩৩, √(০.৩) = ০.৫৪, এবং ২/৫ = ০.৪। প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে '০.৩' হলো সবচেয়ে ছোট মান। দশমিক ও ভগ্নাংশের তুলনামূলক এই ধরনের সমস্যা বিসিএস মানসিক দক্ষতা ও গণিত অংশে প্রায়ই আসে।

দুটি নির্দিষ্ট সংখ্যার ঠিক মধ্যবর্তী বা সমান দূরত্বের সংখ্যা বের করতে হলে তাদের যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়। এখানে (৩০১ + ৩৮১) ÷ ২ = ৬৮২ ÷ ২ = ৩৪১ হলো নির্ণেয় সংখ্যা। বিসিএস-এ এই শর্টকাট পদ্ধতিটি প্রয়োগ করলে খুব কম সময়ে উত্তর বের করা যায়।

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে কাজের ১/১২ অংশ এবং ক একা ১ দিনে করে ১/২০ অংশ। সুতরাং, খ একা ১ দিনে করবে (১/১২ - ১/২০) = ১/৩০ অংশ, অর্থাৎ খ সম্পূর্ণ কাজটি ৩০ দিনে করতে পারবে। কাজের ও সময়ের অঙ্কের ক্ষেত্রে একদিনের কাজের অংশ বের করে বিয়োগ করার এই নিয়মটি নিয়মিত চর্চা করুন।

বহুপদীর উপপাদ্য অনুসারে f(3) = 0 হলে, রাশিতে x এর জায়গায় ৩ বসিয়ে প্রাপ্ত সমীকরণটিকে ০ এর সমান ধরতে হবে। মানগুলো বসিয়ে হিসাব করলে পাই ৯k = 0, যার ফলে k এর মান সহজেই ০ হয়ে যায়। অ্যালজেব্রার এই ধরনের মান নির্ণয়ের অংক বিসিএস-এ নিয়মিত আসে।

অসমতার নিয়ম অনুযায়ী, কোনো অসমতার উভয়পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা (যেমন z < 0) দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। যেহেতু x > y দেওয়া আছে, তাই z দ্বারা গুণ করার পর এটি xz < yz তে রূপান্তরিত হবে। বিসিএস গাণিতিক যুক্তিতে অসমতার এই মৌলিক নিয়মটি খুব ভালোভাবে খেয়াল রাখতে হবে।

ধরি প্রস্থ x, তাহলে দৈর্ঘ্য ২x এবং ক্ষেত্রফল হবে ২x² বর্গমিটার। শর্তমতে, ২x² = ১২৫০, যার সমাধান করলে x = ২৫ মিটার পাওয়া যায়, আর দৈর্ঘ্য হবে ২৫ × ২ = ৫০ মিটার। ক্ষেত্রফলের সূত্রে মান বসানোর সময় সমীকরণ দ্রুত সমাধান করার অভ্যাস বিসিএস পরীক্ষার জন্য খুবই সহায়ক।

মূলবিন্দু (0,0) কে কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ r বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হলো x² + y² = r²। এখানে ব্যাসার্ধ r = 4 হলে, সমীকরণটি দাঁড়ায় x² + y² = 16। জ্যামিতির এই আদর্শ সমীকরণগুলো মনে রাখলে খুব সহজেই এক সেকেন্ডে উত্তর দাগানো সম্ভব।

প্রশ্নটিতে মান দেওয়া আছে (a - 1/a) = 3 এবং মান বের করতে বলা হয়েছে ঘন-এর (কিউবের)। অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী (a³ - 1/a³) = (a - 1/a)³ + 3(a - 1/a), যেখানে মান বসালে উত্তর আসে ৩³ + (৩ × ৩) = ৩৬। বিসিএস মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্লাস-মাইনাসের সূত্রগুলো ভালোভাবে আয়ত্ত করা অত্যন্ত জরুরি।

লগারিদমের ভাগের নিয়ম অনুযায়ী, ভাগের ক্ষেত্রে লগগুলোর মধ্যে বিয়োগ চিহ্ন হয়; অর্থাৎ \(\mathrm{{log}_{a}\left(\frac{m}{n}\right)={log}_{a} m-{log}_{a}n}\)। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে সূচক ও লগারিদমের এমন সরাসরি সূত্র প্রায়ই সেট করা হয়, তাই সূত্রগুলো ভালোভাবে আয়ত্ত রাখুন।

এখানে অনুসিদ্ধান্তের সূত্র \(\mathrm{(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2}\) ব্যবহার করা হয়েছে। মানগুলো বসিয়ে সহজ সমীকরণ সমাধান করলেই \(\mathrm{ab = 12}\) পাওয়া যায়। বিসিএস গণিতে মান নির্ণয়ের শর্টকাট সূত্রগুলো দ্রুত উত্তর করার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হলে তাদেরকে একে অপরের সম্পূরক কোণ বলা হয়। জ্যামিতির মৌলিক সংজ্ঞা থেকে বিসিএস-এ প্রায়ই এমন সহজ প্রশ্ন কমন পাওয়া যায়।

বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যাকেই বৃত্তের ব্যাস বলা হয়, যা বৃত্তের দীর্ঘতম জ্যা। মনে রাখবেন, ব্যাসই হলো বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী একমাত্র জ্যা।

দুটি ত্রিভুজের তিন কোণ যথাক্রমে সমান হলেও ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম নাও হতে পারে, কারণ তাদের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে (তারা সদৃশ হতে পারে কিন্তু সর্বসম নয়)। ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার জন্য বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হওয়া বাধ্যতামূলক।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। ৩ : ৪ : ৫ বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ এই শর্ত পূরণ করে, কারণ \(\mathrm{3^2 + 4^2 = 5^2}\)।

ত্রিকোণমিতির সূত্র অনুযায়ী \(\mathrm{\tan 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}}\) ব্যবহার করে খুব সহজেই মিনারটির উচ্চতা বের করা যায়। মান বসিয়ে হিসাব করলে উচ্চতা আসে \(\mathrm{\frac{20}{\sqrt{3}}}\) মিটার। দূরত্ব ও উচ্চতার অংকগুলোর ক্ষেত্রে চিত্র এঁকে অনুপাত বসালে ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে না।

প্রথমে মিশ্র ভগ্নাংশটিকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে \(\mathrm{\frac{55}{4}\%}\) পাওয়া যায়, এরপর শতকরা চিহ্নের জন্য \(\mathrm{\frac{1}{100}}\) দ্বারা গুণ করে কাটাকাটি করলে চূড়ান্ত ফলাফল \(\mathrm{\frac{11}{80}}\) আসে। শতকরা ও ভগ্নাংশের রূপান্তরের এই নিয়মগুলো মানসিক দক্ষতা ও গাণিতিক যুক্তির জন্য অত্যন্ত জরুরি।

সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী, প্রথম রাশি গুণ চতুর্থ রাশি সমান দ্বিতীয় রাশি গুণ তৃতীয় রাশি। এই সূত্র প্রয়োগ করে চতুর্থ রাশি \(\mathrm{x = \frac{9 \times 4}{3} = 12}\) পাওয়া যায়। অনুপাত ও সমানুপাতের এই সূত্রটি বিসিএস পরীক্ষায় বারবার আসে।

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, বহুপদী রাশিতে \(\mathrm{x = -1}\) বসালে যদি পুরো রাশির মান শূন্য হয়, তবে \(\mathrm{x - (-1)}\) বা \(\mathrm{x + 1}\) হবে ঐ রাশির একটি উৎপাদক। উৎপাদকে বিশ্লেষণের এই বেসিক নিয়মটি রিটিন ও প্রিলি উভয়ের জন্যই সমানভাবে গুরুত্বপূর্ণ।