26th BCS

এটি একটি ত্রিভুজ সংখ্যার ধারা, যার পরবর্তী পদ বের করার নিয়ম হলো পূর্বের পদের সাথে ধাপে ধাপে ১, ২, ৩ করে যোগ করা (যেমন: ১+২=৩, ৩+৩=৬)। এভাবে দশম পদ বের করতে হলে ১ থেকে ১০ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করতে হবে, যার মান দাঁড়ায় ৫৫। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে এ ধরনের প্যাটার্নের ধারা থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে, তাই সমান্তর ও গুণোত্তর ধারার বাইরেও ত্রিভুজ সংখ্যার এই বিশেষ প্যাটার্নটি মনে রাখবেন।

পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি (৪৫ × ২) = ৯০ বছর এবং পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি (৩৬ × ৩) ১০৮ বছর। এখন তিনজনের বয়স থেকে দুজনের বয়স বিয়োগ করলেই (১০৮ - ৯০) পুত্রের বয়স ১৮ বছর পাওয়া যায়। বিসিএস গণিতে গড়ের হিসাব সংক্রান্ত সমস্যাগুলোর ক্ষেত্রে সবসময় বয়সের সমষ্টি বের করে সমাধান করা সবচেয়ে নিরাপদ ও দ্রুততম উপায়।

দুধ ও পানির অনুপাত ৫:১ হওয়ায় এদের পরিমাণের পার্থক্য (৫ - ১) = ৪ অনুপাত, যা প্রশ্নানুসারে ৮ লিটারের সমান। সুতরাং, ১ অনুপাতের মান হলো ৮ ÷ ৪ = ২ লিটার, যা সরাসরি পানির পরিমাণ নির্দেশ করে। অনুপাতের অংকগুলো দ্রুত সমাধানের জন্য অনুপাত দুটির বিয়োগফলকে বাস্তব মানের সাথে তুলনা করার এই শর্টকাট পদ্ধতিটি দারুণ কার্যকর।

ধরি, ৬টি লেবুর ক্রয়মূল্য (৩টি টাকায় কিনলে) ২ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য (২টি টাকায় বিক্রি করলে) ৩ টাকা। এক্ষেত্রে ১ টাকা লাভ হয় ২ টাকায়, অর্থাৎ শতকরা লাভ (১ ÷ ২) × ১০০% = ৫০%। বিসিএস পরীক্ষায় সময় বাঁচাতে এমন ক্ষেত্রে সরাসরি 'টাকায় যতটি কেনা' এবং 'ততটি বিক্রয়' এর অনুপাত বা পরিমাণের এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন।

এখানে আয়ের পরিমাণ উভয় ক্ষেত্রে ৭২০ টাকা অর্থাৎ সমান থাকায় তা হিসাব থেকে বাদ দেওয়া যায়। ব্যস্ত অনুপատ অনুযায়ী শ্রমিক কমলে সময় বেশি লাগবে, তাই ৯ জন শ্রমিকের সময় লাগবে (৩ × ১২) ÷ ৯ = ৪ দিন। বিসিএস পরীক্ষায় এমন ঐক্যের অংকে অপ্রয়োজনীয় তথ্য বাদ দিয়ে সরাসরি সম্পর্ক স্থাপন করতে পারলে খুব দ্রুত উত্তর মেলানো যায়।

স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের কার্যকর বেগ ১৮+৬ = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ১৮-৬ = ১২ কি.মি./ঘণ্টা। ৪৮ কি.মি. পথ অনুকূলে যেতে সময় লাগে ৪৮÷২৪ = ২ ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ফিরে আসতে লাগে ৪৮÷১২ = ৪ ঘণ্টা, যার মোট যোগফল ৬ ঘণ্টা। নৌকার গতি ও স্রোতের অংকগুলোতে অনুকূল ও প্রতিকূলের বেগ আলাদা করে বের করে তারপর সময় নির্ণয় করা সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য নিয়ম।

শর্তমতে সমীকরণটি দাঁড়ায়: (ক/২) + ৬ = ২ক/৩, যা সমাধান করলে ক/৬ = ৬ অর্থাৎ ক = ৩৬ পাওয়া যায়। বিসিএস প্রিলিমিনারিতে বীজগণিতীয় ভাষাভিত্তিক সমস্যাগুলো নির্ভুলভাবে সমাধান করতে প্রশ্নানুযায়ী ধাপে ধাপে সমীকরণ সাজিয়ে নেওয়া হলো সেরা কৌশল।

৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ৪৩, ৪৭, ৫৩ এবং ৫৯—মোট ৪টি। বিসিএস পরীক্ষায় ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার তালিকা (যেমন ২৫টি মৌলিক সংখ্যা) মুখস্ত রাখা লিখিত ও প্রিলিমিনারি উভয় পরীক্ষার জন্যই অত্যন্ত জরুরি।

p একটি মৌলিক সংখ্যা হলে তা স্বাভাবিক ও পূর্ণ সংখ্যা বটে, কিন্তু যেকোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা হয় কারণ এদের কখনো নিখুঁত পূর্ণবর্গ মাপে প্রকাশ করা যায় না। বিসিএস-এর জন্য মনে রাখবেন—পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গমূলই হলো অমূলদ সংখ্যা।

সূচকের নিয়ম অনুসারে ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশকে আলাদা করে পাওয়ার প্রয়োগ করলে পাই, (√৩)^৪ × (√৫)^৪ = (৩^(১/২))^৪ × (৫^(১/২))^৪ = ৩^২ × ৫^২ = ৯ × ২৫ = ২২৫। সূচক ও লগারিদমের অংকগুলোতে করণী বা বর্গমূল ভাঙানোর সময় পাওয়ারের সাথে ১/২ অংশ গুণ করে নেওয়া হলো স্ট্যান্ডার্ড নিয়ম।

ক ও খ ১ দিনে করে ১/১২ অংশ। ক একা ১ দিনে করে ১/২০ অংশ। খ একা ১ দিনে করে (১/১২ - ১/২০) = (৫ - ৩)/৬০ = ২/৬০ = ১/৩০ অংশ। অতএব খ একা সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারবে ৩০ দিনে।

সঠিক উত্তর হলো '১২টি'। যে সংখ্যাগুলি দ্বারা ৭২ কে নিঃশেষে ভাগ করা যাবে সেই সংখ্যাগুলোই হবে ৭২ এর ভাজক। ৭২ কে নিঃশেষে ভাগ করা যায় এখন সংখ্যাগুলো হলো: \(\mathrm{১ \times ৭২=৭২}\) ; \(\mathrm{২ \times ৩৬=৭২}\) ; \(\mathrm{৩ \times ২৪=৭২}\) \(\mathrm{৪ \times ১৮=৭২}\) ; \(\mathrm{৬ \times ১২=৭২}\) ; \(\mathrm{৮ \times ৯=৭২}\) \(\mathrm{∴}\) ৭২ এর ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬ ও ৭২ = ১২ \(\mathrm{টি}\) সংখ্যা।

সঠিক উত্তর হলো '২৩ এবং ২৪'। ধরি, সংখ্যাদ্বয় \(\mathrm{x}\) ও \(\mathrm{\left(x+১\right)}\) শর্তমতে, \(\mathrm{{\left(x+১\right)}^{২}-{x}^{২}=}\) ৪৭ \(\mathrm{⇒{x}^{২}+}\) ২ \(\mathrm{x+১-{x}^{২}=}\) ৪৭ \(\mathrm{⇒}\) ২ \(\mathrm{x=}\) ৪৬ \(\mathrm{⇒x=}\) ২৩ \(\mathrm{∴x+১=}\) ২৪ \(\mathrm{∴}\) নির্ণেয় ক্রমিক সংখ্যা ২৩ এবং ২৪।

সঠিক উত্তর হলো '50'। দেওয়া আছে, \(\mathrm{x+y=8 এবং x-y=6}\) আমরা জানি, \(\mathrm{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{2}\{{\left(x+y\right)}^{2}+{\left(x-y\right)}^{2}\}}\) \(\mathrm{=\frac{1}{2}\left\{\left({8}^{2}+{6}^{2}\right)\right\}}\) \(\mathrm{=\frac{1}{2} \times 100}\) \(\mathrm{=50}\)

সঠিক উত্তর হলো '1'। \[\mathrm {a^2+{1\over a^2} =({a+{1\over a^2}})-2a.{1\over a }=(\sqrt3)^2-2}\] \[=3-2=1\]

সঠিক উত্তর হলো '১২৮ বর্গফুট'। ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু, a = ৮ ফুট আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{\sqrt{২}a}\) একক \(\mathrm{=}\) ৮ \(\mathrm{\sqrt{২}}\) ফুট \(\mathrm{∴}\) কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, \(\mathrm{{\left(\sqrt{২}a\right)}^{২}={\left(৮\sqrt{২}\right)}^{২}=(৬৪ \times ২)}\) \(\mathrm{=}\) ১২৮ বর্গ ফুট।

সঠিক উত্তর হলো '\(\sqrt 3-\sqrt2\)'। \[{\sqrt2\over \sqrt6+2}={\sqrt2(\sqrt 6-2)\over((\sqrt 6+2)(\sqrt6-2)}\] \[={(\sqrt 2.\sqrt2(\sqrt3-\sqrt2))\over (6-4)}={2(\sqrt3-\sqrt2)\over 2}\] \[=\sqrt 3-\sqrt 2\]

রাশিটি সাজালে পাই: x^2 + y^2 + 16 - 8x - 8y = x^2 + y^2 + (-4)^2 - 2(4x) - 2(4y)। আমরা জানি (x + y - 4)^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y। অতএব একে পূর্ণবর্গ করতে হলে অতিরিক্ত 2xy যোগ করতে হবে।

সঠিক উত্তর হলো '\(\mathrm {x+y-1}\)'। \(\mathrm{{x}^{2}-{y}^{2}+2y-1={x}^{2}-\left({y}^{2}-2y+1\right)}\) \(\mathrm{{=x}^{2}-{\left(y-1\right)}^{2}=(x+y-1)(x-y+1)}\)

সঠিক উত্তর হলো '২৪ সেমি'। এখানে, ব্যাসার্ধ OA = ১৩ সে.মি. এবং কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব OD = ৫ সে.মি., এখন, OΑD সমকোণী ত্রিভুজে, অর্ধ জ্যা, \(\mathrm{AD=\sqrt{O{A}^{২}-{OD}^{২}}}\) \(\mathrm{=\sqrt{১{৩}^{২}-{৫}^{২}}}\) \(\mathrm{=}\) \(\mathrm{\sqrt{১৬৯-২৫}}\) \(\mathrm{=১২}\) যেহেতু, জ্যা ΑΒ, D বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে। \(\mathrm{∴}\) AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ১২ + ১২ = ২৪ সে.মি.।